例えば半径1の円があってその内部のみ(円周を含まない)という点集合(つまり開集合)があったとして、これを可算個の開集合の和として被覆できることは理解できる。
さらに、上記点集合の作り方もまた無数にあるが、どのようなものであったとしても、その中から有限個を選んで円周を含まない点集合を被覆できないことも理解できる気がする。
つまり、際の部分の際限なさによって。
ところが、円周を含む半径1の円であればこれを可算個の開区間の点集合で被覆した場合に、その中から有限個を選んで被覆できる、これをコンパクトな集合、という、となると理解できない。
そもそも閉集合を開集合の和集合で被覆できるのか、というところで疑問符が･･･。
追記)別の本を読むと閉集合の場合ははみ出してもよいようだ。なんだか扱いが非対称にも思えるのだけれど…。
